[問題]gwd1-13

[bryan]

If n is a positive integer, what is the remainder when 3^(8n+3) + 2 is divided by 5?

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

這題該如何解ㄋ？謝謝！
Key:E

[Quinton]

小弟雖然數學不好∼
但是這題剛好理解∼就來現醜一下

先找出規律
3^1除以五餘3
3^2除以五餘4
3^3除以五餘2
3^4除以五餘1
......
依此類推∼
可知道是四個一組
而∼8n+3會是11,19,....
會落在第三組上
所以就是餘2
在上後面的2就等於『4』嚕 8-|

[homaru]

If n is a positive integer, what is the remainder when 3^(8n+3) + 2 is divided by 5?

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

這題該如何解ㄋ？謝謝！
Key:E

仔細觀察3^n的個位數:3,9,27,81,243,729,2187,6561....
是3,9,7,1,3,9,7,1...循環
所以3^(8n+3)的個位數其實跟3^3個位數一樣,也就是7
7+2=9
9/5=1...4
雖然題目限定n是正整數不為0,但是用0代進去答案也是一樣的

[Quinton]

好一個李小龍！！

超快的解法！！
我的是笨人算法！

[homaru]

超人你的方法也不錯啊
大家都是觀察出來的~

[bryan]

Quinton、homaru
謝謝您們的回答~

關於循環我查了一下
*整數n次方尾數特性*　　

尾數為2次方數的個位數一定以2，4，8，6循環 　　
尾數為3次方數的個位數一定以3，9，7，1循環 　　
尾數為4次方數的個位數一定以4，6循環 　　
尾數為7次方數的個位數一定以7，9，3，1循環 　　
尾數為8次方數的個位數一定以8，4，2，6循環 　　
尾數為9次方數的個位數一定以9，1循環

[chihhan123]

運用指數運算

3^(8n+3) + 2
= (3^3) * (3^8n) + 2
= 27 * ((3^4)^2n) + 2
= 27 * (81^2n) + 2

因為81的個位數是1
無論81的任何次方，個位數都是1
27*1 結果的個位數=7
7+2=9
9/5=1...4

所以答案 (E) 4

[agustin]

運用指數運算

3^(8n+3) + 2
= (3^3) * (3^8n) + 2
= 27 * ((3^4)^2n) + 2
= 27 * (81^2n) + 2

因為81的個位數是1
無論81的任何次方，個位數都是1
27*1 結果的個位數=7
7+2=9
9/5=1...4

所以答案 (E) 4

樓上的解法更快 簡直是觀察法
找循環可行 但是太慢了 還得去各自乘開...看循環
(該不會有人將3的十次方都背下了吧??)